峰度 (Kurtosis) – 快速入门

作者：Ruben Geert van den Berg，归类于统计 A-Z

在统计学中，峰度 (Kurtosis) 指的是定量变量分布的“尖峰程度”。理解“尖峰程度”的最佳方式是查看下面的示例直方图。

峰度示例 (Kurtosis Examples)

测验 4 几乎完美地呈正态分布。因此，其超额峰度 (Excess Kurtosis) 接近于 0。

测验 3 的分布比正态曲线“更平坦”：直方图的条形低于曲线的中间部分，而高于曲线的尾部。因此，测验 3 具有负超额峰度。

测验 5 比正态曲线“更尖”：其条形高于曲线的峰值，而低于曲线的尾部。因此，测验 5 具有正超额峰度。

测验 2 大致遵循均匀分布。因为它比测验 3 更平坦，所以它具有更强的负超额峰度。

测验 1 具有最强的负超额峰度，它具有双峰分布 (bimodal distribution)。

对于具有强 (正) 偏度 (skewness) 的变量，例如测验 6，通常会看到正超额峰度。

现在我们已经了解了（超额）峰度的含义，让我们看看如何计算它。

如果您的数据包含整个总体，而不仅仅是一个样本，则总体峰度 \(K_p\) 计算如下：

\[K_p = \frac{M_4}{M_2^2}\]

其中 \(M_2\) 和 \(M_4\) 表示围绕均值的二阶矩和四阶矩：

\[M_2 = \frac{\sum\limits_{i = 1}^N(X_i - \overline{X})^2}{N}\]

和

\[M_4 = \frac{\sum\limits_{i = 1}^N(X_i - \overline{X})^4}{N}\]

请注意，\(M_2\) 只是总体方差公式。

一个正态分布 (normally distributed) 的变量的峰度为 3.0。由于这是不期望的，因此总体超额峰度 \(EK_p\) 定义为

\[EK_p = K_p - 3\]

因此，对于正态分布的变量，**_超额_峰度为 0.0**。

现在，一切都很好。但是，_不好_的是，“峰度”在标准教科书和软件包中既指峰度又指超额峰度，而没有明确说明报告的是哪一个。

总之。

到目前为止，我们的公式仅适用于包含整个总体的数据。如果您的数据仅包含来自某个总体的样本 - 通常情况如此 - 那么您将需要计算样本超额峰度 \(EK_s\) 如下：

\[EK_s = ((N + 1) \cdot EK_p + 6) \cdot \frac{(N - 1)}{(N - 2) \cdot (N - 3)}\]

此公式得到的结果是大多数软件包（例如 SPSS, Excel 和 Googlesheets）报告的“峰度”。最后，大多数教科书建议（超额）峰度的标准误差 \(SE_{eks}\) 计算如下：

\[SE_{eks} \approx \sqrt{\frac{24}{N}}\]

但是，对于小样本量，此近似值并不准确。因此，软件包使用更复杂的公式。我不会用它来烦你。

此 Googlesheet (只读) 中显示了超额峰度的示例计算，部分内容如下所示。

我们计算了分数 1 到 10 的超额峰度。首先，我们添加了它们的平均值，M = 5.50。接下来，

\(D\) 表示差值 (分数 - 平均值)； \(D^2\) 是用于计算方差的平方差； \(D^4\) 是差值的四次方。

如下所示，剩下的计算也很简单。

请注意，超额峰度 = 1.20。SPSS 输出如下所示，确认了此结果。

一些与超额峰度相关的术语：

我们的峰度示例 (kurtosis examples) 说明了扁平峰 (platykurtic)，中峰 (mesokurtic) 和尖峰 (leptokurtic) 分布的典型外观。

首先，“峰度”始终指的是 Excel，Googlesheets 和 SPSS 中的样本超额峰度。在 Excel 和 Googlesheets 中，可以通过使用类似 =KURT(A2:A11) 的公式找到它。

SPSS 有许多计算超额峰度的选项，但我个人更喜欢使用 A nalyze (分析) SPSS 菜单箭头 C ompare Means (比较均值) M eans (均值)。

如下所示，可以从 Options (选项) 中选择峰度，并将其拖动到所需位置。